¿En qué contexto histórico y bajo qué título original publicó Siméon Denis Poisson la deducción de su famosa fórmula en 1837?
Recordá que el interés de Poisson era resolver problemas de justicia y decisiones humanas mediante la probabilidad.
Poisson presentó su distribución en el libro 'Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile', buscando aplicar la matemática al sistema legal.
Aunque es una aplicación clásica actual, el fenómeno de la radiactividad no se conocía ni se estudiaba formalmente en 1837.
El estudio de los cohetes V-2 fue una aplicación posterior realizada por estadísticos británicos durante la Segunda Guerra Mundial, mucho después de la muerte de Poisson.
El estudio de las patadas de caballo fue realizado por Ladislaus von Bortkiewicz en 1898, utilizando la fórmula que Poisson ya había creado.
Pregunta 2/ 6
Para que la Distribución Binomial se transforme en una Distribución de Poisson, ¿qué condiciones deben cumplirse respecto al número de intentos (n) y la probabilidad de éxito (p)?
Pensá en el concepto de 'eventos raros' que ocurren en un universo masivo.
Estas condiciones describen una distribución binomial estándar, como el lanzamiento de una moneda, no el límite de Poisson.
La distribución de Poisson surge como el límite de la binomial cuando se consideran muchísimas oportunidades con una probabilidad de ocurrencia casi nula por cada una.
Para que el modelo de Poisson sea válido, la tasa media λ debe permanecer constante dentro del intervalo de observación.
Si p es grande, el evento deja de ser 'raro', lo cual contradice la naturaleza de los procesos de Poisson que modelan sucesos poco probables en intervalos pequeños.
Pregunta 3/ 6
Una característica única y distintiva de la Distribución de Poisson es la relación entre su Esperanza (E[X]) y su Varianza (Var(X)). ¿Cuál es esa relación?
Se la conoce como la 'firma matemática' inconfundible de esta distribución.
En la distribución de Poisson, el promedio de eventos esperados y la medida de su dispersión (varianza) coinciden exactamente con el valor de λ.
Al ser la varianza igual a λ, si el promedio de eventos aumenta, la variabilidad de los datos también aumenta de forma proporcional.
Esta relación no se cumple en Poisson; la igualdad es la 'firma' matemática de este proceso.
Aquí se confunde la varianza con la desviación estándar, que es la que se calcula como σ = √λ.
Pregunta 4/ 6
En el estudio de las bombas V-2 sobre Londres, ¿qué conclusión alcanzaron los matemáticos al observar que los impactos seguían una distribución de Poisson?
Considerá qué implica que un fenómeno se ajuste perfectamente a un modelo de azar puro.
Un sistema de guía preciso habría mostrado concentraciones de impactos en edificios clave, alejándose de la distribución de Poisson.
Si los impactos hubieran estado agrupados en objetivos específicos, la distribución no habría coincidido con el modelo aleatorio de Poisson.
El estudio se centró en la ubicación espacial de los impactos para determinar la aleatoriedad, no en la tasa de fallos técnicos de los proyectiles.
El modelo demostró que la caída era uniforme y azarosa en todo el cuadrante, independientemente de lo que hubiera en la superficie.
Pregunta 5/ 6
Si un servidor de internet recibe en promedio λ = 5 peticiones por milisegundo, ¿cuál es la fórmula correcta para calcular la probabilidad de que no reciba ninguna petición (X = 0)?
Recordá las propiedades algebraicas de elevar un número a la potencia cero y el factorial de cero.
Este cálculo correspondería a la probabilidad de recibir exactamente una petición (X = 1), no cero.
En un proceso de Poisson, siempre existe una probabilidad mayor a cero de que no ocurra ningún evento en un intervalo dado.
Esta es la probabilidad de recibir 'al menos una' petición, utilizando el evento complementario a X = 0.
Al sustituir k = 0 en la fórmula frace-λ · λkk!, el término λ0 es 1 y 0! es 1, simplificándose a e-λ.
Pregunta 6/ 6
Supongamos que en una ciudad llueve en promedio 6 veces cada 30 días. Si queremos modelar la probabilidad de lluvia para un período de solo 5 días, ¿cuál sería el nuevo valor de λ ajustado?
Pensá en la proporción del nuevo intervalo de tiempo respecto al original.
Este valor parece confundir la tasa de eventos con la duración total del intervalo original de 30 días.
Mantener el mismo λ ignoraría que el intervalo de tiempo es mucho más corto, lo cual sobreestimaría la cantidad de eventos.
Este error suele ocurrir al dividir el tiempo por el número de eventos (30/25) en lugar de multiplicar la tasa por la proporción del nuevo intervalo.
Se debe ajustar la escala temporal: si ocurren 6 eventos en 30 días, en 5 días (que es un sexto del tiempo) ocurrirá un promedio de 6 · (530) = 1 evento.