Laboratorio Cuántico • Explorador Matemático

Más allá de la Binomial

Descubre los universos de las distribuciones de probabilidad discreta, sus modelos, fórmulas en LaTeX y orígenes históricos.

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Geométrica

🎯 Fenómeno
Número total de intentos independientes hasta obtener el primer éxito (matemática de la persistencia).
⚙️ Parámetros
$p$ (probabilidad constante de éxito en cada ensayo).
📐 Función de Probabilidad
$$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$$
📈 Esperanza
$$\frac{1}{p}$$
📊 Varianza
$$\frac{1-p}{p^2}$$
📜 Contexto
"Posee la propiedad de "falta de memoria" (amnesia); el dado no recuerda derrotas previas."
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Hipergeométrica

🎯 Fenómeno
Muestreo de n elementos de una población finita sin reemplazo (las probabilidades cambian en cada paso).
⚙️ Parámetros
$N$ (población), $K$ (éxitos en población), $n$ (muestra).
📐 Función de Probabilidad
$$P(X=x) = \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
📈 Esperanza
$$n \cdot \frac{K}{N}$$
📊 Varianza
$$n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1-\frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}$$
📜 Contexto
"John Hudde (1628–1704), alcalde de Ámsterdam, planteó la objeción a Huygens en 1657 sobre el muestreo sin reemplazo, originando este modelo."
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Binomial

🎯 Fenómeno
Número de éxitos en n ensayos independientes con reemplazo.
⚙️ Parámetros
$n$ (intentos), $p$ (probabilidad de éxito).
📐 Función de Probabilidad
$$P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$
📈 Esperanza
$$n \cdot p$$
📊 Varianza
No disponible en la fuente
📜 Contexto
"Mencionado como uno de los modelos previos dominados antes de las nuevas distribuciones."
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Poisson

🎯 Fenómeno
Eventos raros en tiempo o espacio continuo que ocurren a un ritmo promedio constante.
⚙️ Parámetros
$\lambda$ (tasa promedio).
📐 Función de Probabilidad
$$P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}$$
📈 Esperanza
$$\lambda$$
📊 Varianza
No disponible en la fuente
📜 Contexto
"Mencionado como modelo previo para eventos que ocurren a tasas constantes."

📋 Matriz Comparativa Completa

Distribución Fenómeno Parámetros Función de Probabilidad Esperanza Varianza Contexto
Geométrica Número total de intentos independientes hasta obtener el primer éxito (matemática de la persistencia). \(p\) (probabilidad constante de éxito en cada ensayo). \(P(X=k) = (1-p)^{k-1}p\) \(\frac{1}{p}\) \(\frac{1-p}{p^2}\) Posee la propiedad de "falta de memoria" (amnesia); el dado no recuerda derrotas previas.
Hipergeométrica Muestreo de n elementos de una población finita sin reemplazo (las probabilidades cambian en cada paso). \(N\) (población), \(K\) (éxitos en población), \(n\) (muestra). \(P(X=x) = \frac{\binom{K}{x}\binom{N-K}{n-x}}{\binom{N}{n}}\) \(n \cdot \frac{K}{N}\) \(n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left(1-\frac{K}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}\) John Hudde (1628–1704), alcalde de Ámsterdam, planteó la objeción a Huygens en 1657 sobre el muestreo sin reemplazo, originando este modelo.
Binomial Número de éxitos en n ensayos independientes con reemplazo. \(n\) (intentos), \(p\) (probabilidad de éxito). \(P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}\) \(n \cdot p\) No disponible en la fuente Mencionado como uno de los modelos previos dominados antes de las nuevas distribuciones.
Poisson Eventos raros en tiempo o espacio continuo que ocurren a un ritmo promedio constante. \(\lambda\) (tasa promedio). \(P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}\) \(\lambda\) No disponible en la fuente Mencionado como modelo previo para eventos que ocurren a tasas constantes.